从均值与离散程度，看清数据分布
输入均值和标准差，或粘贴原始数据估算参数，即可绘制钟形曲线（正态分布曲线）。标注区间概率、求解百分位临界值，并导出图表与计算结果。
计算在浏览器内完成，本工具不会上传数值输入。
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正态模型概率
95.0000%
均值／标准差
0 / 1
所选区域
-1.96 ≤ X ≤ 1.96
为便于电子表格读取，计算 CSV 保留固定英文列名和英文小数点。
正态模型临界值使用 X = μ + σΦ⁻¹(p)。 选择“原始数据”，即可将理论临界值与观测百分位进行比较。 所有行均包含在计算 CSV 中。
| 百分位 | Z 分数 | 正态模型 |
|---|---|---|
| 5% | -1.6449 | -1.6449 |
| 25% | -0.6745 | -0.6745 |
| 50% | 0 | 0 |
| 75% | 0.6745 | 0.6745 |
| 95% | 1.6449 | 1.6449 |
此比较是描述性的，不是正态性检验。存在重复值时，小于或等于观测百分位的实际比例可能不同于名义百分比。
求百分位 p 时，先用 z = Φ⁻¹(p)，再算 X = μ + σz。上尾概率 p 使用 −Φ⁻¹(p)。中央覆盖率 c 使用 (1 − c)/2 和 (1 + c)/2 两个分位点。计算前将百分比除以 100。
用 z = (x − μ) / σ 转换边界。区间概率为 Φ(z 上界) − Φ(z 下界)；区间外概率为两尾之和。Φ 是标准正态累积分布函数。
纵轴是概率密度而不是概率，曲线下面积为 1。图表通常显示约 ±4 个标准差，并扩展至求解边界；概率包含可见范围外的完整尾部。
中央 95% 使用 ±1.95996 SD，2 个标准差内约为 95.45%。观测直方图按密度缩放至面积 1；实际比例可能不同于模型概率。对比时阴影始终表示主曲线概率。
直方图组数为观测数量平方根向上取整，最多 30 组，覆盖观测最小值至最大值。正态模型也为此范围外分配概率，因此各组期望频数之和可能小于样本量。
使用 paper banana，将研究方法、机制与流程转成清晰的科研图片。
理解曲线形状与面积
钟形曲线是正态分布的对称形状。均值决定中心位置，标准差决定分布宽度。用这个正态分布生成器绘制模型，并计算数值落入所选区域的概率。
钟形曲线公式为 f(x) = exp(−(x − μ)² / (2σ²)) / (σ√(2π))，其中 μ 是均值，σ 是正标准差。公式给出 x 处的概率密度；概率由区间面积决定，而不是某一点的曲线高度。
平滑的钟形曲线是一种数学模型，并非所有数据都服从它。输入观测值后，请比较密度直方图、实际比例与拟合正态曲线，再解释结果。
输入均值和正标准差，定义理论正态分布。
用原始单位或 Z 分数，标注边界以下、以上、区间内或区间外的概率。
随图表导出模型参数、区间概率和数据摘要。
示例与工具使用同一计算引擎。加载示例后可查看输入、修改边界并导出结果。
为下一次讲解准备直观图表
用假设清晰的正态模型进行教学、探索测量数据并解释统计前提。
统计教师可以演示 ±1、±2、±3 个标准差分别覆盖约 68.27%、95.45%、99.73% 的正态分布。精确中央 95% 则使用约 ±1.95996 个标准差。
教师可以对考试成绩建模，用实际分数展示低于等级阈值的比例。解释班级分布前，请比较模型结果与实际成绩。
研究者可以粘贴一列测量值，将观测密度与正态模型对比。估计总体变异时选样本标准差，描述完整研究总体时选总体标准差。
输入、概率与可复用的输出
图表和导出使用同一数值模型，保证图形与计算结果一致。
从目标概率求出可用临界值
钟形曲线生成器支持双向计算：从边界求概率，或从目标概率求边界。理论临界值与数据中的观测百分位分别显示。
选择“求百分位临界值”并输入 95，即可求出模型中 95% 数值位于其下方的临界值。均值为 100、标准差为 15 时，结果约为 124.6728。选择 5% 上尾概率会得到同一临界值，但阴影方向相反。
输入 90 等中央覆盖百分比，可求出两侧尾部概率相等的对称边界。均值 100、标准差 15 时，中央 90% 约为 75.3272 至 124.6728。它描述模型下的个体数值，不是估计均值的置信区间。
比较第 5、25、50、75、95 百分位以及自定义百分位。观测值采用 Hyndman–Fan 第 7 型插值，位置为 (n − 1)p。偏态、重复值和小样本会造成与模型临界值的差异。插值结果未必是实际观测值，也未必恰有 p 比例的数据低于它。两组结果、差值和方法均可导出为 CSV。
拟合曲线即使不完全吻合也能提供参考。工具分别显示模型概率与实际观测比例。
原始数据模式同时显示区域内观测数量和正态模型预测概率。
直方图高度为频数除以样本量和组距，面积为 1，因此能与正态概率密度进行比较。
叠加图用于探索，不进行正态性检验、不判定统计显著性，也不计算估计均值的置信区间。
缩短从数据到图表的流程
制作清晰图表，同时保留可检查的统计选项。
数值输入在浏览器内处理，无需账号或服务器计算。
下载计算 CSV，查看参数、概率和每组的实际与期望频数。
将 SVG 导入编辑器，或把 PNG 放入演示文稿。两种导出均为白色背景且无水印。
从模型或观测数据开始
输入有效数值后预览即时更新，无需另行提交生成请求。
理论模型选择“均值与标准差”；数值列或 CSV 选择“原始数据”，再选择数据列和标准差口径。
选择阴影预设、输入边界，或根据百分位、上尾概率、中央覆盖率求解临界值。展开“自定义与比较”可修改标题、轴标签、颜色或第二条曲线。
核对模型概率与实际观测比例，再下载 PNG、SVG 或计算 CSV 用于文档。
常见问题
用参数或原始数据绘制正态分布、标注概率、求解百分位临界值并比较两条曲线，无需注册。可免费下载无水印的 1920 × 1040 PNG、可编辑 SVG 或计算 CSV。数值计算在本地浏览器内完成。
选择“原始数据”，粘贴观测值或导入 CSV、TSV、文本，再选择数值列。启用直方图叠加后，可比较观测密度与拟合正态曲线。直方图面积归一化为 1，两者使用相同密度尺度；叠加图不进行正态性检验。
从 Excel 复制数值列或制表符分隔表格，粘贴到“原始数据”；也可将工作表保存为 CSV 后导入。选择数值列与标准差口径再查看曲线。小数请使用英文句点，不支持直接上传 XLSX。
选择“均值与标准差”，输入均值和严格大于零的标准差。均值决定中心，标准差决定宽度。原始数据模式中，样本标准差使用除数 n − 1，总体标准差使用 n。请按观测数据的含义选择。
在“原始数据”中粘贴成绩，计算均值与标准差，再标出低于分数阈值的区域。比较模型概率与实际低于阈值的学生比例。拟合曲线不能证明成绩服从正态分布，也不能作为强制按比例分配等级的依据。
选择“低于临界值”“高于临界值”“两值之间”或“两值之外”。将边界单位设为 Z 分数可输入标准化临界值，也可使用原始数值。显示概率包含可见图形之外的完整尾部；曲线高度是密度，不是概率。
选择“求百分位临界值”，输入 0.001 至 99.999 的百分比。逆正态计算使用 X = μ + σΦ⁻¹(p)，其中 p 为比例。若要求数值上方的概率，请选择上尾临界值。在展开的表格中可对比模型与观测百分位。
选择“求中央覆盖区间”，输入 90 或 99。工具求解两侧尾部概率相等的边界、更新阴影并将结果写入计算 CSV。它描述正态模型下的个体数值范围，不是估计均值的置信区间。
