從平均數與離散程度，看清資料分布
輸入平均數與標準差，或貼上原始資料估計參數，即可繪製鐘形曲線（常態分布曲線）。標示區間機率、計算百分位數臨界值，並匯出圖表與計算結果。
計算在瀏覽器內完成，本工具不會上傳數值輸入。
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常態模型機率
95.0000%
平均數／標準差
0 / 1
所選區域
-1.96 ≤ X ≤ 1.96
為便於電子表格讀取，計算 CSV 保留固定英文列名和英文小數點。
常態模型臨界值使用 X = μ + σΦ⁻¹(p)。 選擇「原始資料」，即可將理論臨界值與觀測百分位數進行比較。 所有行均包含在計算 CSV 中。
| 百分位數 | Z 分數 | 常態模型 |
|---|---|---|
| 5% | -1.6449 | -1.6449 |
| 25% | -0.6745 | -0.6745 |
| 50% | 0 | 0 |
| 75% | 0.6745 | 0.6745 |
| 95% | 1.6449 | 1.6449 |
此比較是描述性的，不是常態性檢驗。存在重複值時，小於或等於觀測百分位數的實際比例可能不同於名義百分比。
求百分位數 p 時，先用 z = Φ⁻¹(p)，再算 X = μ + σz。上尾機率 p 使用 −Φ⁻¹(p)。中央覆蓋率 c 使用 (1 − c)/2 和 (1 + c)/2 兩個分位點。計算前將百分比除以 100。
用 z = (x − μ) / σ 轉換邊界。區間機率為 Φ(z 上界) − Φ(z 下界)；區間外機率為兩尾之和。Φ 是標準常態累積分布函式。
縱軸是機率密度而不是機率，曲線下面積為 1。圖表通常顯示約 ±4 個標準差，並擴充套件至求解邊界；機率包含可見範圍外的完整尾部。
中央 95% 使用 ±1.95996 SD，2 個標準差內約為 95.45%。觀測直方圖按密度縮放至面積 1；實際比例可能不同於模型機率。比較時陰影始終表示主曲線機率。
直方圖組數為觀測數量平方根向上取整，最多 30 組，覆蓋觀測最小值至最大值。常態模型也為此範圍外分配機率，因此各組期望頻數之和可能小於樣本量。
使用 paper banana，將研究方法、機制與流程轉成清晰的科研圖片。
理解曲線形狀與面積
鐘形曲線是常態分布的對稱形狀。平均數決定中心位置，標準差決定分布寬度。用這個常態分布產生器繪製模型，並計算數值落入所選區域的機率。
鐘形曲線公式為 f(x) = exp(−(x − μ)² / (2σ²)) / (σ√(2π))，其中 μ 是平均數，σ 是正標準差。公式給出 x 處的機率密度；機率由區間面積決定，而不是某一點的曲線高度。
平滑的鐘形曲線是一種數學模型，並非所有資料都服從它。輸入觀測值後，請比較密度直方圖、實際比例與配適常態曲線，再解釋結果。
輸入平均數和正標準差，定義理論常態分布。
用原始單位或 Z 分數，標示邊界以下、以上、區間內或區間外的機率。
隨圖表匯出模型參數、區間機率和資料摘要。
範例與工具使用同一計算引擎。載入範例後可檢視輸入、修改邊界並匯出結果。
為下一次講解準備直觀圖表
用假設清晰的常態模型進行教學、探索測量資料並解釋統計前提。
統計教師可以演示 ±1、±2、±3 個標準差分別覆蓋約 68.27%、95.45%、99.73% 的常態分布。精確中央 95% 則使用約 ±1.95996 個標準差。
教師可以對考試成績建模，用實際分數展示低於等級門檻的比例。解釋班級分布前，請比較模型結果與實際成績。
研究者可以貼上一列測量值，將觀測密度與常態模型比較。估計母體變異時選樣本標準差，描述完整研究母體時選母體標準差。
輸入、機率與可複用的輸出
圖表和匯出使用同一數值模型，保證圖形與計算結果一致。
從目標機率求出可用臨界值
鐘形曲線產生器支援雙向計算：從邊界求機率，或從目標機率求邊界。理論臨界值與資料中的觀測百分位數分別顯示。
選擇「求百分位數臨界值」並輸入 95，即可求出模型中 95% 數值位於其下方的臨界值。平均數為 100、標準差為 15 時，結果約為 124.6728。選擇 5% 上尾機率會得到同一臨界值，但陰影方向相反。
輸入 90 等中央覆蓋百分比，可求出兩側尾部機率相等的對稱邊界。平均數 100、標準差 15 時，中央 90% 約為 75.3272 至 124.6728。它描述模型下的個體數值，不是估計平均數的信賴區間。
比較第 5、25、50、75、95 百分位數以及自訂百分位數。觀測值採用 Hyndman–Fan 第 7 型內插，位置為 (n − 1)p。偏態、重複值和小樣本會造成與模型臨界值的差異。內插結果未必是實際觀測值，也未必恰有 p 比例的資料低於它。兩組結果、差值和方法均可匯出為 CSV。
配適曲線即使不完全吻合也能提供參考。工具分別顯示模型機率與實際觀測比例。
原始資料模式同時顯示區域內觀測數量和常態模型預測機率。
直方圖高度為頻數除以樣本量和組距，面積為 1，因此能與常態機率密度進行比較。
疊加圖用於探索，不進行常態性檢驗、不判定統計顯著性，也不計算估計平均數的信賴區間。
縮短從資料到圖表的流程
製作清晰圖表，同時保留可檢查的統計選項。
數值輸入在瀏覽器內處理，無需賬號或伺服器計算。
下載計算 CSV，檢視參數、機率和每組的實際與期望頻數。
將 SVG 匯入編輯器，或把 PNG 放入簡報。兩種匯出均為白色背景且無浮浮水印。
從模型或觀測資料開始
修改有效輸入後，曲線與計算結果會即時更新。
理論模型選擇「平均數與標準差」；數值列或 CSV 選擇「原始資料」，再選擇資料列和標準差計算方式。
選擇陰影預設、輸入邊界，或根據百分位數、上尾機率、中央覆蓋率求解臨界值。展開「自訂與比較」可修改標題、軸標籤、顏色或第二條曲線。
核對模型機率與實際觀測比例，再下載 PNG、SVG 或計算 CSV 用於文件。
常見問題
用參數或原始資料繪製常態分布、標示機率、求解百分位數臨界值並比較兩條曲線，無需註冊。可免費下載無浮浮水印的 1920 × 1040 PNG、可編輯 SVG 或計算 CSV。數值計算在本地瀏覽器內完成。
選擇「原始資料」，貼上觀測值或匯入 CSV、TSV、文字，再選擇數值列。啟用直方圖疊加後，可比較觀測密度與配適常態曲線。直方圖面積歸一化為 1，兩者使用相同密度尺度；疊加圖不進行常態性檢驗。
從 Excel 複製數值列或製表符分隔表格，貼上到「原始資料」；也可將工作表儲存為 CSV 後匯入。選擇數值列與標準差計算方式再檢視曲線。小數請使用英文句點，不支援直接上傳 XLSX。
選擇「平均數與標準差」，輸入平均數和嚴格大於零的標準差。平均數決定中心，標準差決定寬度。原始資料模式中，樣本標準差使用除數 n − 1，母體標準差使用 n。請按觀測資料的含義選擇。
在「原始資料」中貼上成績，計算平均數與標準差，再標出低於分數門檻的區域。比較模型機率與實際低於門檻的學生比例。配適曲線不能證明成績服從常態分布，也不能作為強制按比例分配等級的依據。
選擇「低於臨界值」「高於臨界值」「兩值之間」或「兩值之外」。將邊界單位設為 Z 分數可輸入標準化臨界值，也可使用原始數值。顯示機率包含可見圖形之外的完整尾部；曲線高度是密度，不是機率。
選擇「求百分位數臨界值」，輸入 0.001 至 99.999 的百分比。逆常態計算使用 X = μ + σΦ⁻¹(p)，其中 p 為比例。若要求數值上方的機率，請選擇上尾臨界值。在展開的表格中可比較模型與觀測百分位數。
選擇「求中央覆蓋區間」，輸入 90 或 99。工具求解兩側尾部機率相等的邊界、更新陰影並將結果寫入計算 CSV。它描述常態模型下的個體數值範圍，不是估計平均數的信賴區間。
